مقدمة
تعمل متغيرات الصدفة المستمرة على نحو مختلف عن المتغيرات الصدفة ال diskrete. حيث يتم حساب احتمالية حدوث نتيجة معينة في حالة المتغيرات ال diskrete، بينما تأتي التحديثات للمتغيرات المستمرة بشكل مختلف. على سبيل المثال، عند قياس زمن انتظار السيارات في التقاطع للحصول على الضوء الأخضر، يمكن أن يكون الزمن 8.192161 ثانية ناتجاً محتملاً. ومع ذلك، ليس من المعقول أن نحسب احتمال أن تنتظر السيارة بالضبط 8.192161 ثانية. مع متغير صدفة مستمر، نهتم فقط بقيمة المتغير العشوائي داخل فاصل زمني معين.
توزيعات الاحتمالية الكثافة
تتمثل توزيعات الاحتمالية الكثافة للمتغيرات المستمرة في وظائف كثافة الاحتمال أو ما يُعرف بـ PDFs. يتم حساب الاحتماليات استنادًا إلى التكاملات لوظائف الكثافة على فاصل زمني معين.
[\begin{align}P(a < X < b) = \displaystyle \int_a^b f(x)dx\end{align}]
لكون وظيفة كثافة الاحتمال صالحة، يجب أن لا تكون الاحتماليات سالبة، ويجب أن تكون الاحتمالية الإجمالية تساوي واحد. يجب على PDF أن تستوفي هذين الشرطين.
وظيفة توزيع التكامل التراكمي
تُعرف وظيفة توزيع التكامل التراكمي (CDF) لتوزيع الاحتمال المستمر بالتالي:
[\begin{align}F(x) = P(X \le x)\end{align}]
وإذا كانت CDF معروفة، يمكن العثور على PDF عن طريق التفاضل. وإذا كانت PDF معروفة، يمكن العثور على CDF عن طريق التكامل.
[\begin{align}F(x) &= \int\limits_{-\infty}^{x} f(t) dt \ f(x) &= \frac{d F(x)}{d x}\end{align}]
وتزيد CDF المستمرة باتجاه عدم الانخفاض. وفي الحد، عندما (x\to\infty)، تقترب CDF من 1، وعندما (x\to -\infty)، تقترب CDF من 0.
توقعات وانحراف معيار
تتطابق تعريفات القيمة المتوقعة والانحراف المعياري للمتغير المستمر مع تلك في حالة المتغيرات ال diskrete، باستثناء أن التجميعات تستبدل بالتكاملات.
[\begin{align}\mu = E(X) &= \int\limits{-\infty}^{\infty}x\;f(x)dx \ \sigma^2 = E(\;(x-\mu)^2\;) &= \int\limits{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2\;f(x)dx\end{align}]
وكما في الحالة ال diskrete، تكون الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للانحراف المعياري.
[\begin{align}\sigma = \sqrt{E(\;(x-\mu)^2\;)} &= \sqrt{E(\;X^2\;) - (\;E(X)^2\;)}\end{align}]
مثال
لنأخذ متغيرًا عشوائيًا (X)، يكون له وظيفة كثافة احتمال معينة:
[f(x) =\begin{cases}\frac{3}{8}x^2 & \text{ل } 0 \leq x \leq 2 \0 & \text{في حالة أخرى}\end{cases}]
أ) العثور على احتمال أن يكون (X) بين 1 و 2
ب) العثور على وظيفة توزيع الاحتمال التراكمي
ج) العثور على القيمة المتوقعة لـ (X)
د) العثور على الانحراف المعياري والانحراف المعياري لـ (X)
توزيع متساوي
تعد توزيع متساوي أحد أشكال توزيعات الاحتمال المستمرة الشائعة.